O Kelly responde a uma pergunta precisa: que fração do capital maximiza o crescimento logarítmico esperado, sob as hipóteses do modelo? Não é uma garantia de ganho nem uma fórmula para adivinhar as probabilidades de um evento.
Calcular a fração teórica
Para uma aposta sem reembolso, com uma probabilidade p e uma odd decimal c:
f* = (p × c − 1) / (c − 1)
À odd 2,00 com p = 52,5 %, o Kelly completo é de 5 %. Meio Kelly é 2,5 % e um quarto de Kelly 1,25 %. Sobre 1 000€, isso representa respetivamente 50, 25 e 12,50€.
Se p × c ≤ 1, a fórmula não recomenda apostar nada nessa seleção. Pressupõe também probabilidades suficientemente bem estimadas, um capital divisível e restrições de execução controladas.
Crescimento e esperança não são a mesma coisa
Neste exemplo à odd 2,00, o crescimento logarítmico esperado por aposta é:
g(f) = 0,525 × ln(1 + f) + 0,475 × ln(1 − f)
| Fração do capital | Crescimento logarítmico por aposta |
|---|---|
| 1,25 % | Cerca de 0,055 % |
| 2,50 % | Cerca de 0,094 % |
| 5,00 % | Cerca de 0,125 % |
| 10,00 % | Cerca de −0,0008 % |
A 10 %, a esperança aritmética continua positiva se p estiver certo, mas o crescimento logarítmico torna-se ligeiramente negativo. Dizer que ultrapassar o Kelly destrói automaticamente a esperança de ganho confunde, portanto, duas noções.
O erro de probabilidade pesa muitas vezes mais do que o cálculo
Se as probabilidades reais forem de 50 % em vez de 52,5 %, a sua vantagem desaparece. Fracionar o Kelly reduz a exposição a esse erro sem o corrigir. Várias apostas no mesmo jogo exigem também uma análise conjunta: somar os Kelly individuais ignora a sua dependência.
Se não tiver uma estimativa validada, um montante pequeno e limitado, uma simulação sem dinheiro ou não apostar são opções mais coerentes do que um número de Kelly artificialmente preciso.
Exemplo passo a passo à odd 2,50
Estima que uma seleção à odd 2,50 tem 44 % de probabilidade de entrar.
- Vantagem:
p × c − 1 = 0,44 × 2,50 − 1 = 10 %. - Kelly completo:
f* = 0,10 / (2,50 − 1) ≈ 6,67 %. - Frações: meio Kelly ≈ 3,33 %, quarto de Kelly ≈ 1,67 %.
- Sobre 800€: cerca de 53,33€, 26,67€ e 13,33€.
Suponha agora que a probabilidade real é de 42 %. O Kelly correto desce para 3,33 %, e o montante de 6,67 % representa o dobro do ótimo. Com estes números, o crescimento logarítmico esperado torna-se quase nulo (cerca de 0,002 % por aposta), contra cerca de 0,083 % a 3,33 %. Um erro de dois pontos em p basta para apagar o interesse do Kelly completo; é a principal razão das frações.
Várias apostas ao mesmo tempo
A fórmula trata uma aposta isolada. Quatro apostas independentes a 5 % cada comprometem 20 % do capital ao mesmo tempo; se todas perderem, a descida é imediata. Uma regra simples consiste em limitar o total comprometido e reduzir cada montante proporcionalmente. Duas apostas no mesmo jogo não são independentes: trate-as como uma única posição.
Erros frequentes
- Tomar a odd da casa como probabilidade. Com
p = 1/c, a fórmula dá zero, e a margem torna-a negativa. - Aplicar o Kelly a uma múltipla multiplicando probabilidades mal estimadas: os erros também se multiplicam.
- Manter o montante calculado sobre o capital inicial depois de uma descida forte, o que aumenta o risco relativo.
- Confundir vantagem com odd alta. Uma odd de 5,00 não tem mais valor do que uma de 1,80 sem uma estimativa fiável.
Pôr em prática com a SCANbet
A calculadora de Kelly mostra o Kelly completo e as suas frações a partir da sua probabilidade e da odd. Depois, compare nas suas estatísticas o CLV das suas apostas: se as suas odds raramente batem a odd de fecho, as suas probabilidades merecem uma fração mais prudente. A calculadora de risco de ruína completa a análise.
Perguntas frequentes
Deve usar-se o Kelly completo?
Raramente. Com vantagens pequenas, meio Kelly conserva cerca de três quartos do crescimento máximo com metade do montante: no exemplo acima à odd 2,00, 0,094 % contra 0,125 % por aposta. É um bom compromisso quando p é incerto.
O que fazer se a fórmula der um número negativo?
Não apostar. Um resultado negativo significa que, segundo a sua própria estimativa, a odd não paga o suficiente pelo risco.
O Kelly aplica-se às freebets?
Não tal e qual. Uma freebet não o faz perder capital e o seu montante não é devolvido se ganhar; o objetivo é converter a maior parte possível do seu valor. A calculadora de freebets foi feita para esse caso.
Referência e leituras
Kelly, 1956: artigo original (em inglês). Os números da tabela são calculados com a fórmula acima. Veja também risco de ruína e acompanhamento da bankroll.