Critère de Kelly : calculer une mise et comprendre ses limites

Kelly répond à une question précise : quelle fraction du capital maximise la croissance logarithmique attendue, sous les hypothèses du modèle ? Ce n'est ni une garantie de gain ni une formule pour deviner les chances d'un événement.

Calculer la fraction théorique

Pour un pari sans remboursement, avec une probabilité p et une cote décimale c :

f* = (p × c − 1) / (c − 1)

À cote 2,00 avec p = 52,5 %, le Kelly complet vaut 5 %. Un demi-Kelly vaut 2,5 % et un quart-Kelly 1,25 %. Sur 1 000€, cela représente respectivement 50, 25 et 12,50€.

Si p × c ≤ 1, la formule ne recommande aucune mise sur cette sélection. Elle suppose aussi des probabilités suffisamment bien estimées, un capital divisible et des contraintes d'exécution maîtrisées.

Croissance et espérance ne sont pas la même chose

Pour cet exemple à cote 2,00, la croissance logarithmique attendue par pari est :

g(f) = 0,525 × ln(1 + f) + 0,475 × ln(1 − f)

À 10 %, l'espérance arithmétique reste positive si p est juste, mais la croissance logarithmique devient légèrement négative. Dire que dépasser Kelly détruit automatiquement l'espérance de gain confond donc deux notions.

L'erreur de probabilité domine souvent le calcul

Si les chances réelles sont 50 % au lieu de 52,5 %, votre avantage disparaît. Fractionner Kelly réduit l'exposition à cette erreur sans la corriger. Plusieurs paris sur le même match demandent aussi une analyse commune : additionner les Kelly individuels ignore leur dépendance.

Si vous n'avez pas d'estimation validée, une petite mise plafonnée, une simulation sans argent ou l'absence de pari sont plus cohérentes qu'un chiffre Kelly artificiellement précis.

Exemple pas à pas à cote 2,50

Vous estimez qu'une sélection cotée 2,50 a 44 % de chances de passer.

1. Avantage : p × c − 1 = 0,44 × 2,50 − 1 = 10 %.
2. Kelly complet : f* = 0,10 / (2,50 − 1) ≈ 6,67 %.
3. Fractions : demi-Kelly ≈ 3,33 %, quart-Kelly ≈ 1,67 %.
4. Sur 800€ : environ 53,33€, 26,67€ et 13,33€.

Supposons maintenant que la vraie probabilité soit 42 %. Le Kelly correct tombe à 3,33 %, et la mise de 6,67 % représente le double de l'optimum. Avec ces chiffres, la croissance logarithmique attendue devient quasi nulle (environ 0,002 % par pari), contre environ 0,083 % à 3,33 %. Une erreur de deux points sur p suffit à effacer l'intérêt du Kelly complet ; c'est la raison principale des fractions.

Plusieurs paris en même temps

La formule traite un pari isolé. Quatre paris indépendants à 5 % chacun engagent 20 % du capital au même moment ; s'ils perdent tous, la baisse est immédiate. Une règle simple consiste à plafonner le total engagé et à réduire chaque mise proportionnellement. Deux paris sur le même match ne sont pas indépendants : traitez-les comme une seule position.

Erreurs fréquentes

• Prendre la cote du bookmaker comme probabilité. Avec p = 1/c, la formule donne zéro, et la marge la rend négative.
• Appliquer Kelly à un combiné en multipliant des probabilités mal estimées : les erreurs se multiplient aussi.
• Garder la mise du capital initial après une forte baisse, ce qui augmente le risque relatif.
• Confondre avantage et cote élevée. Une cote de 5,00 n'a pas plus de valeur qu'une cote de 1,80 sans estimation fiable.

Mettre en pratique avec SCANbet

Le calculateur Kelly affiche le Kelly complet et ses fractions à partir de votre probabilité et de la cote. Comparez ensuite, dans vos statistiques, la CLV de vos paris : si vos cotes battent rarement la cote de clôture, vos probabilités méritent une fraction plus prudente. Le calculateur de risque de ruine complète l'analyse.

Questions fréquentes

Faut-il utiliser le Kelly complet ?

Rarement. Pour de petits avantages, le demi-Kelly conserve environ les trois quarts de la croissance maximale en divisant la mise par deux : dans l'exemple à cote 2,00 plus haut, 0,094 % contre 0,125 % par pari. C'est un bon compromis quand p est incertain.

Que faire si la formule donne un chiffre négatif ?

Ne pas parier. Un résultat négatif signifie que, selon votre propre estimation, la cote ne paie pas assez le risque.

Kelly s'applique-t-il aux freebets ?

Pas tel quel. Un freebet ne vous fait pas perdre de capital et sa mise n'est pas rendue en cas de gain ; on cherche plutôt à convertir le maximum de sa valeur. Le calculateur de freebet est fait pour ce cas.

Référence et suite

Kelly, 1956 : article original. Les chiffres du tableau sont calculés avec la formule ci-dessus. Voir aussi risque de ruine et suivi de bankroll.